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组合数的第二类斯特林意义

2018-05-04 08:07:35 By fpdqwq

第二类斯特林数 $S(n,m)$ 表示将 $n$ 个元素放入 $m$ 个无序集合的方案数。

递推形式

递推式: $S(n,m)=mS(n-1,m)+S(n-1,m-1)$

证明:

考虑第 $n$ 个元素所在集合。

$1.$ 如果第 $n$ 个元素被放在一个之前就存在的集合。

$--$在放入第 $n$ 个元素之前,共有 $n-1$ 个元素,$m$ 个集合。方案数为 $m*S(n-1,m)$。

$2.$ 如果第 $n$ 个元素被放在一个之前不存在的集合。

$--$在放入第 $n$ 个元素之前,共有 $n-1$ 个元素,$m-1$ 个集合。第 $n$ 个元素构成一个单独的集合,方案数为 $S(n-1,m-1)$。

综上, $S(n,m)=mS(n-1,m)+S(n-1,m-1)$ 。

这种考虑最后一个元素的情况并进行递推的思想,在某些题目当中同样适用,并不仅限于第二类斯特林数公式的推导。

容斥形式

咕咕咕。

容斥形式可以在 $O(好多)$ 的时间复杂度求出就那么多个第二类斯特林数。

评论

duluchutiren
大家好我是毒瘤出题人
fpdqwq
你不是
he_____he
meow
fpdqwq
update:应某毒瘤出题人要求,本博客更名为"组合数的第二类斯特林意义"。

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